( ) Calcule gamma para cada uma das curvas (1,2) de (-2,8) a gamma. Esboce gamma.
(a) (1,2) é o segmento de reta de (1,8) a (1,8) e de (2,8) a

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralgamma(x^2+y^2),dx + 2x,dy
onde gamma é o caminho quebrado que vai de (1,2) até (-2,8) passando pelo ponto intermediário (1,8). O campo F=(P,Q) com P=x^2+y^2 e Q=2x não é conservativo, pois
partial Ppartial y=2y neq 2=partial Qpartial x
Então teremos que parametrizar cada segmento e somar as integrais.

Passo 2

Segmento 1 (vertical): de (1,2) a (1,8). Podemos usar x(t)=1, y(t)=t para t de 2 a 8. Aí temos dx=0 e dy=dt. Substituindo,
integralgamma1(x^2+y^2),dx + 2x,dy = integralt=2^8l((1)^2 + t^2r)cdot 0 ,dt + integral2^82cdot1,dt = integral2^82,dt = 2,(8-2)=12

Passo 3

Segmento 2 (horizontal): de (1,8) a (-2,8). Parametrizamos por x(t)=t, y(t)=8 para t de 1 a -2. Então dx=dt e dy=0. A integral fica
integralgamma2(x^2+y^2),dx + 2x,dy = integral1^-2l(t^2 + 8^2r),dt + 0 = integral1^-2(t^2+64),dt
Calculando,
integral1^-2(t^2+64),dt = l[t^33 + 64tr]1^-2 = l(-83 -128r) - l(13 +64r) = -3 -192 = -195

Passo 4

Somando as contribuições de cada parte do caminho, a integral total é
12 + (-195) = -183

Resposta

-183

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