Escreva a série de Laurent que converge para cada uma das funções abaixo, para z na região convergência descrita.
11-z^-1 ;|z|>1

Passo 1

Nesse exercício, temos a função f(z)= 11 - z^-1 e a região de convergência |z|>1. O conteúdo aqui é séries de Laurent, e vamos usar a expansão da série geométrica para obter os termos em potências negativas de z.

Passo 2

A chave é lembrar da série geométrica 11 - w = sumn=0^infty w^n, que converge para |w|<1. Aqui definimos w = z^-1, então a condição |w|<1 vira |z^-1|<1, ou seja |z|>1, exatamente a região dada.

Passo 3

Agora basta substituir w = z^-1 na série geométrica. Assim temos:
11 - z^-1 = sumn=0^infty (z^-1)^n = sumn=0^infty z^-n

Resposta

A série de Laurent na região |z|>1 é sumn=0^infty z^-n.

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