Escreva a série de Laurent que converge para cada uma das funções abaixo, para z na região convergência descrita.
11+z ;|z|<1

Passo 1

Resumo da questão: queremos encontrar a série de Laurent (aqui uma série de potências centrada em zero) para a função f(z)=11+z válida na região |z|<1. O conteúdo envolvido é séries de Laurent e, mais especificamente, a expansão em série geométrica.

Passo 2

Para resolver, note que podemos reescrever f(z) como uma série geométrica padrão. Escrevendo
11+z=11-(-z),, reconhecemos a forma 1/(1-w)=sumn=0^inftyw^n válida para |w|<1. Aqui basta tomar w=-z, cuja condição |w|<1 coincide com |z|<1.

Passo 3

Substituindo w=-z na expansão geométrica, obtemos
11+z=sumn=0^infty(-z)^n=sumn=0^infty(-1)^n,z^n,, para |z|<1

Resposta

sumn=0^infty(-1)^n,z^n

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