( ) Calcule integralgamma x y d x+(x+y) d y para cada uma das curvas gamma de (0,0) a (1,3). Esboce gamma.
(d) gamma é parte da parábola y=3 x^2 de (0,0) a (1,3)

Passo 1

Temos que calcular a integral de linha integralgammax y,dx + (x+y),dy ao longo da curva dada pela parábola y=3x^2 entre os pontos (0,0) e (1,3). O conteúdo aqui é integral de linha de forma diferencial e vamos precisar parametrizar gamma.

Passo 2

Parametrizamos a curva por gamma(t)=(x(t),y(t))=(t,3t^2) com tin[0,1]. Assim temos
x=t, y=3t^2, dx=dt, dy=6t,dt,

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integralgammax y,dx + (x+y),dy = integral0^1l(3t^3 + (t+3t^2),6tr),dt = integral0^1(6t^2+21t^3),dt

Passo 4

Agora basta calcular a integral em [0,1]:
integral0^1(6t^2+21t^3),dt = l[2t^3 + 214t^4r]0^1 = 2 + 214 = 294

Passo 5

O esboço de gamma é o arco da parábola y=3x^2 ligando (0,0) a (1,3), com crescimento acelerado em y conforme x aumenta.

Resposta

tfrac294

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