Calcule para um gás ideal submetido a um processo adiabático saindo de um estado 1 para um estado 2
a relação entre temperatura e volume

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gás ideal passando por um processo adiabático, ou seja, sem troca de calor com o ambiente, indo do estado 1 para o estado 2. O objetivo é encontrar como a temperatura está relacionado com o volume durante esse processo. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis da termodinâmica, especialmente as que se aplicam a processos adiabáticos e aos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um processo adiabático. Em um processo adiabático, não tem troca de calor com o ambiente, então $ Q = 0 $. Isso simplifica a primeira lei da termodinâmica, que é:
Q = 0
Como $ Q = 0 $, fica:
De

Passo 3

Agora, para um gás ideal, a variação de energia interna ($ \Delta U $) está relacionada à variação de temperatura. A equação é:
De
Onde:
  • $ n $ é o número de mols,
  • $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante,
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura.

Passo 4

Além disso, o trabalho realizado ($ W $) em um processo de expansão ou compressão é dado por:
W
Para um gás ideal, a pressão $ P $ pode ser substituída pela equação dos gases ideais:
W = integral P , dV
Substituindo na equação do trabalho:
P

Passo 5

Como o processo é adiabático, podemos relacionar temperatura e volume usando a relação adiabática. Para um gás ideal, essa relação é:
TV^gamma - 1 = constante
Onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $ é a razão das capacidades caloríficas.

Passo 6

Então, se considerarmos os estados 1 e 2, temos:
T1 V1^gamma - 1 = T2 V2^gamma - 1
Isso mostra como a temperatura e o volume estão relacionados durante o processo adiabático.

Resposta

A relação entre a temperatura $ T $ e o volume $ V $ para um gás ideal em um processo adiabático é dada por:
T

Exercícios relacionados