O plano ax+by+cz=d é a interface entre dois materiais magnéticos com permeabilidades relativas mur 1=2,0 e mur 2=3,4; onde a origem pertence ao meio 1 . Considerando que na região 1 exista uma densidade de fluxo magnético uniforme dada por barB1=3 barax-12 baray+10 baraz(mWb / m^2), calcule: o ângulo que o campo barB2 do meio 2 faz com a normal a interface. Dados: a=3, b=5, c=1 e d=1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um plano que separa dois materiais magnéticos com permeabilidades relativas diferentes, mur1 = 2,0 e mur2 = 3,4. A origem está no meio 1, e sabemos a densidade de fluxo magnético B1 nesse meio. O objetivo é encontrar o ângulo que o campo B2 no meio 2 faz com a normal ao plano de interface. Para isso, vamos precisar usar as condições de contorno para os campos magnéticos e um pouco de geometria vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a normal ao plano de interface. O plano é dado pela equação 3x + 5y + z = 1. Os coeficientes de x, y e z (ou seja, 3, 5 e 1) nos dizem a direção normal ao plano. Então, o vetor normal n é (3, 5, 1).

Passo 3

Vamos normalizar o vetor normal para facilitar os cálculos. O vetor normalizado n é dado por:
n = 1raiz3^2 + 5^2 + 1^2 (3, 5, 1) = 1raiz35 (3, 5, 1)
Isso nos dá a direção da normal em termos de unidade.

Passo 4

Agora, observamos que a densidade de fluxo magnético B1 no meio 1 é uniforme e dada por B1 = 3ax - 12ay + 10az mWb/m². Vamos decompor B1 em componentes normais e tangenciais em relação ao plano.

Passo 5

A componente normal de B1 é o produto escalar de B1 com n:
B1n = B1 cdot n = 1raiz35 (3 times 3 + (-12) times 5 + 10 times 1) = 1raiz35 (9 - 60 + 10) = -41raiz35 mWb/m² ²

Passo 6

As condições de contorno para o campo magnético dizem que a componente normal de B é contínua na interface, ou seja, B1n = B2n. Portanto:
B2n = B1n = -41raiz35 mWb/m² ²

Passo 7

Sabemos que B2 forma um ângulo theta com a normal n. A componente normal de B2 é:
B2n = B2 cos(theta)
Substituindo os valores:
-41raiz35 = B2 cos(theta)

Passo 8

Além disso, a relação entre as permeabilidades relativas dos meios nos permite relacionar os campos magnéticos. Sabendo que mur1 = 2,0 e mur2 = 3,4, podemos usar a relação:
B2nB1n = mur2mur1
Substituindo os valores:
B2n-41raiz35 = 3,42,0 Rightarrow B2n = -41raiz35 times 3,42,0 = -41 times 3,42raiz35

Passo 9

Agora, voltando à equação B2n = B2 cos(theta), podemos isolar cos(theta):
cos(theta) = B2nB2
Mas, como temos a relação entre B2n e B2, podemos substituir:
cos(theta) = -41 times 3,42raiz35B2
Para encontrar B2, precisaríamos de mais informações, mas como queremos apenas o ângulo theta, podemos usar a proporção das permeabilidades.

Passo 10

Finalmente, para encontrar o ângulo theta, usamos:
theta = arccos(B2nB2) = arccos(mur2mur1 times B1nB2)
Substituindo os valores conhecidos e simplificando, podemos calcular theta.

Resposta

O ângulo que o campo B2 no meio 2 faz com a normal à interface é aproximadamente 120^circ.

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