O plano
é a interface entre dois materiais magnéticos com permeabilidades relativas
e
; onde a origem pertence ao meio 1 . Considerando que na região 1 exista uma densidade de fluxo magnético uniforme dada por
, calcule: o ângulo que o campo
do meio 2 faz com a normal a interface. Dados:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um plano que separa dois materiais magnéticos com permeabilidades relativas diferentes,
e
. A origem está no meio 1, e sabemos a densidade de fluxo magnético
nesse meio. O objetivo é encontrar o ângulo que o campo
no meio 2 faz com a normal ao plano de interface. Para isso, vamos precisar usar as condições de contorno para os campos magnéticos e um pouco de geometria vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a normal ao plano de interface. O plano é dado pela equação
. Os coeficientes de
,
e
(ou seja, 3, 5 e 1) nos dizem a direção normal ao plano. Então, o vetor normal
é
.
Passo 3
Vamos normalizar o vetor normal para facilitar os cálculos. O vetor normalizado
é dado por:
Isso nos dá a direção da normal em termos de unidade.
Passo 4
Agora, observamos que a densidade de fluxo magnético
no meio 1 é uniforme e dada por
mWb/m². Vamos decompor
em componentes normais e tangenciais em relação ao plano.
Passo 5
A componente normal de
é o produto escalar de
com
:
Passo 6
As condições de contorno para o campo magnético dizem que a componente normal de
é contínua na interface, ou seja,
. Portanto:
Passo 7
Sabemos que
forma um ângulo
com a normal
. A componente normal de
é:
Substituindo os valores:
Passo 8
Além disso, a relação entre as permeabilidades relativas dos meios nos permite relacionar os campos magnéticos. Sabendo que
e
, podemos usar a relação:
Substituindo os valores:
Passo 9
Agora, voltando à equação
, podemos isolar
:
Mas, como temos a relação entre
e
, podemos substituir:
Para encontrar
, precisaríamos de mais informações, mas como queremos apenas o ângulo
, podemos usar a proporção das permeabilidades.
Passo 10
Finalmente, para encontrar o ângulo
, usamos:
Substituindo os valores conhecidos e simplificando, podemos calcular
.
Resposta
O ângulo que o campo
no meio 2 faz com a normal à interface é aproximadamente
.