Calcule para um gás ideal submetido a um processo adiabático saindo de um estado 1 para um estado 2
o trabalho realizado em função das pressões P1 E P2 e da temperatura T1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado por um gás ideal durante um processo adiabático que vai do estado 1 para o estado 2. Isso envolve conceitos de Termodinâmica, mais especificamente sobre processos adiabáticos e a lei dos gases ideais. Vamos precisar das pressões $ P_{1} $ e $ P_{2} $, além da temperatura inicial $ T_{1} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um processo adiabático. Em termodinâmica, um processo adiabático é aquele onde não há troca de calor com o ambiente, ou seja, $ Q = 0 $. Isso significa que toda a mudança de energia interna do gás se dá pelo trabalho realizado.

Passo 3

Para um gás ideal em um processo adiabático, a relação entre pressão e volume é dada por $ P V^{\gamma} = constante $, onde $ \gamma $ é o coeficiente adiabático, que é a razão entre a capacidade calorífica a pressão constante $ C_p $ e a capacidade calorífica a volume constante $ C_v $, ou seja, $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $.

Passo 4

Agora, vamos lembrar da Lei dos Gases Ideais, que diz que $ P V = n R T $, onde $ n $ é a quantidade de mols, $ R $ é a constante dos gases e $ T $ é a temperatura em Kelvin. Podemos usar essa relação para expressar volumes em termos de pressões e temperaturas.

Passo 5

Queremos encontrar o trabalho realizado $ W $ durante o processo adiabático. A expressão geral para o trabalho em um processo adiabático de um gás ideal é:
W

Passo 6

Vamos expressar os volumes $ V_{1} $ e $ V_{2} $ em termos das pressões e da temperatura inicial usando a Lei dos Gases Ideais. Da lei $ P V = n R T $, temos:
V1

Passo 7

Como o processo é adiabático, podemos relacionar as temperaturas e as pressões usando a relação adiabática:
P1 V1^gamma = P2 V2^gamma
Substituindo $ V_{1} $ e $ V_{2} $ pelas expressões anteriores:
V1
Isso nos permite encontrar uma relação entre $ T_{2} $ e $ T_{1} $.

Passo 8

Após simplificar, obtemos:
T2 = T1 ( P2P1 )^gamma - 1gamma

Passo 9

Agora, voltando à expressão do trabalho:
W = P1 V1 - P2 V2gamma - 1
Substituindo $ V_{1} $ e $ V_{2} $ e $ T_{2} $ pela relação que encontramos:
V1

Resposta

O trabalho realizado durante o processo adiabático é dado por:
W = n R T1gamma - 1 [ 1 - ( P2P1 )^gamma - 1gamma ]

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