Calcule grad f então Du f=(grad f) cdot u, então Du f em P :
f(x, y)= distância a (0,3), u=(1,0), P=(1,1)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=distância de (x,y) ao ponto (0,3), â
isto é
f(x,y)=raizx^2+(y-3)^2,
e pede o gradiente gradf e em seguida a derivada direcional
Duf=(gradf)cdotu
no ponto P=(1,1), com u=(1,0). Vamos usar definição de derivadas parciais para achar o gradiente e depois o produto escalar com u.

Passo 2

Para calcular gradf=(fx,fy) usamos
f(x,y)=l(x^2+(y-3)^2r)^1/2
Logo
fx=partialpartial xl(x^2+(y-3)^2r)^1/2 =12l(x^2+(y-3)^2r)^-1/2cdot2x =xraizx^2+(y-3)^2,
fy=partialpartial yl(x^2+(y-3)^2r)^1/2 =12l(x^2+(y-3)^2r)^-1/2cdot2(y-3) =y-3raizx^2+(y-3)^2
Portanto
gradf(x,y) =l(xraizx^2+(y-3)^2,,y-3raizx^2+(y-3)^2r)

Passo 3

Avaliaremos esse gradiente em P=(1,1). Primeiro o denominador é
raiz1^2+(1-3)^2=raiz1+4=raiz5
Assim
gradf(1,1) =l(1raiz5,,1-3raiz5r) =l(1raiz5,,-2raiz5r)

Passo 4

Como u=(1,0) já é vetor unitário, a derivada direcional em P é
Duf(1,1) =(gradf(1,1))cdotu =l(1raiz5,-2raiz5r)cdot(1,0) =1raiz5cdot1+l(-2raiz5r)cdot0 =1raiz5

Resposta

Duf(1,1)=1raiz5

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