Calcule o gradiente do campo escalar dado: f(x, y)=z-raizx^2+y^2.

Passo 1

Vamos resumir: o enunciado pede o gradiente do campo escalar f(x,y,z)=z-raizx^2+y^2. O conteúdo é gradiente de uma função de três variáveis e vamos precisar de derivadas parciais e da regra da cadeia para a raiz.

Passo 2

Por definição, o gradiente de f é o vetor das derivadas parciais: nabla f=(partial f/partial x,;partial f/partial y,;partial f/partial z).

Passo 3

Para calcular partial f/partial x, note que z é constante em relação a x, então partial z/partial x=0. Usando regra da cadeia em raizx^2+y^2=(x^2+y^2)^1/2:
partialpartial x(x^2+y^2)^1/2=12(x^2+y^2)^-1/2cdot2x=xraizx^2+y^2
Assim, partial fpartial x=0-xraizx^2+y^2=-xraizx^2+y^2.

Passo 4

Para partial f/partial y, o raciocínio é igual: partial z/partial y=0 e
partialpartial y(x^2+y^2)^1/2=yraizx^2+y^2
Logo, partial fpartial y=-yraizx^2+y^2.

Passo 5

Para partial f/partial z, só temos f=z-raizx^2+y^2, então partial fpartial z=1-0=1.

Passo 6

Agrupando as três componentes, obtemos o vetor gradiente.

Resposta

nabla f(x,y,z)=gl(-xraizx^2+y^2,;-yraizx^2+y^2,;1gr)

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