Calcule
, onde B é a região do segundo quadrante dentro da circunferência
. (valor
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
. A gente precisa calcular essa integral sobre a região $ B $, que é o segundo quadrante dentro da circunferência $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Vamos usar cálculo integral em coordenadas polares, já que estamos lidando com uma circunferência. Isso vai facilitar a nossa vida na hora de definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o segundo quadrante. No plano cartesiano, o segundo quadrante é onde $ x $ é negativo e $ y $ é positivo. Então, em coordenadas polares, isso significa que o ângulo $ \theta $ varia de $ \frac{\pi}{2} $ a $ \pi $ radianos.
Passo 3
Agora, vamos converter a função $ x^{2} y $ para coordenadas polares. Sabemos que:
Então,
Passo 4
A integral dupla em coordenadas polares fica:
Aqui, $ r $ varia de 0 a 1 (raio da circunferência) e $ \theta $ varia de $ \frac{\pi}{2} $ a $ \pi $.
Passo 5
Vamos primeiro integrar em relação a $ r $:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para integrar $ \cos^{2}\theta \sin\theta $, fazemos uma substituição. Vamos deixar $ u = \cos\theta $, então $ du = -\sin\theta , d\theta $. Quando $ \theta = \frac{\pi}{2} $, $ u = 0 $, e quando $ \theta = \pi $, $ u = -1 $.
Passo 7
Substituindo, a integral fica:
Integrando:
Resposta
O valor da integral é
, ou aproximadamente
.