Calcule integral duplaB x^2 y d A, onde B é a região do segundo quadrante dentro da circunferência x^2+y^2=1. (valor : 2,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaB x^2 y , dA. A gente precisa calcular essa integral sobre a região $ B $, que é o segundo quadrante dentro da circunferência $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Vamos usar cálculo integral em coordenadas polares, já que estamos lidando com uma circunferência. Isso vai facilitar a nossa vida na hora de definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o segundo quadrante. No plano cartesiano, o segundo quadrante é onde $ x $ é negativo e $ y $ é positivo. Então, em coordenadas polares, isso significa que o ângulo $ \theta $ varia de $ \frac{\pi}{2} $ a $ \pi $ radianos.

Passo 3

Agora, vamos converter a função $ x^{2} y $ para coordenadas polares. Sabemos que:
x^2 y
Então,
x = r costheta e y = r sintheta

Passo 4

A integral dupla em coordenadas polares fica:
integral duplaB x^2 y , dA = integralpi2^pi integral0^1 r^3 cos^2theta sintheta , dr , dtheta
Aqui, $ r $ varia de 0 a 1 (raio da circunferência) e $ \theta $ varia de $ \frac{\pi}{2} $ a $ \pi $.

Passo 5

Vamos primeiro integrar em relação a $ r $:
r
Então, a integral fica:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14

Passo 6

Para integrar $ \cos^{2}\theta \sin\theta $, fazemos uma substituição. Vamos deixar $ u = \cos\theta $, então $ du = -\sin\theta , d\theta $. Quando $ \theta = \frac{\pi}{2} $, $ u = 0 $, e quando $ \theta = \pi $, $ u = -1 $.

Passo 7

Substituindo, a integral fica:
14 integral0^-1 u^2 (-du) = 14 integral-1^0 u^2 , du
Integrando:
14 [ u^33 ]-1^0 = 14 ( 0 - ( (-1)^33 ) ) = 14 ( 13 ) = 112

Resposta

O valor da integral é 112, ou aproximadamente 0,!0833.

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