Determine a área da parte do paraboloide z=4-x^2-y^2 acima do plano z=3 (valor: 2,0)

Passo 1

O problema pede a área da parte do paraboloide z=4−x²−y² que fica acima do plano z=3. Aqui o conteúdo é cálculo de área de superfície dada por z=f(x,y), usando a fórmula de área A=integral duplaDraiz1+fx^2+fy^2,dA. Como a região em que z≥3 satisfaz 4−x²−y²≥3, vai aparecer um disco no plano xy.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de z=f(x,y)=4−x²−y²:
fx=partial zpartial x=-2x, fy=partial zpartial y=-2y

Passo 3

Daí o elemento de área vale
raiz1+fx^2+fy^2=raiz1+4x^2+4y^2

Passo 4

A região D no plano xy é o disco x²+y²≤1. Passamos para coordenadas polares x=rcosθ, y=rsinθ e dA=r,dr,dθ. A área fica
A=integral0^2piintegral0^1raiz1+4r^2,r,dr,dθ =2piintegral0^1rraiz1+4r^2,dr

Passo 5

Para resolver integral0^1rraiz1+4r^2,dr fazemos u=1+4r^2, du=8r,dr. Assim
integral0^1rraiz1+4r^2,dr =integralu=1^5raizu8,du =18cdot23l[u^3/2r]1^5 =112(5^3/2-1)

Passo 6

Multiplicando por 2pi obtemos
A=2picdot112(5raiz5-1)=pi6(5raiz5-1)

Resposta

A=pi6l(5raiz5-1r).

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