Determine a área da parte do paraboloide
acima do plano
(valor: 2,0)
Passo 1
O problema pede a área da parte do paraboloide z=4−x²−y² que fica acima do plano z=3. Aqui o conteúdo é cálculo de área de superfície dada por z=f(x,y), usando a fórmula de área
. Como a região em que z≥3 satisfaz 4−x²−y²≥3, vai aparecer um disco no plano xy.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de z=f(x,y)=4−x²−y²:
Passo 3
Daí o elemento de área vale
Passo 4
A região D no plano xy é o disco x²+y²≤1. Passamos para coordenadas polares
,
e
. A área fica
Passo 5
Para resolver
fazemos
,
. Assim
Passo 6
Multiplicando por
obtemos