Calcule o gradiente de
(isto Ă©, descubra as derivadas parciais de primeira ordem):
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o gradiente da função $ f(x, y) = x^{2} + 3xy^{2} + x e{-x{2}-y^{2}} $. O gradiente envolve encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a $ x $ e $ y $. Para isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
A função é:
Derivando termo a termo:
- A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $.
- A derivada de $ 3xy^{2} $ em relação a $ x $ é $ 3y^{2} $ (já que $ y $ é considerado constante).
- Para o termo $ x e{-x{2}-y^{2}} $, usamos a regra do produto. Vamos chamar $ u = x $ e $ v = e{-x{2}-y^{2}} $.
Usando a regra do produto $ \frac{d}{dx}(uv) = u’v + uv’ $:
Agora, derivamos $ e{-x{2}-y^{2}} $ em relação a $ x $ usando a regra da cadeia:
Então:
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Derivando termo a termo:
- A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ y $ é $ 0 $ (já que não há $ y $ nesse termo).
- A derivada de $ 3xy^{2} $ em relação a $ y $ é $ 6xy $.
- Para o termo $ x e{-x{2}-y^{2}} $, usamos a regra da cadeia novamente:
Somando tudo:
Resposta
O gradiente da função $ f(x, y) $ é dado por: