Calcule o gradiente de f (isto Ă©, descubra as derivadas parciais de primeira ordem):
f(x, y)=integralcos (y)^x^2 e^-t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente de uma função $ f(x, y) $, que basicamente significa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a $ x $ e $ y $. O enunciado nos dá:
f(x, y)
Vamos precisar usar o conceito de derivação de integrais com limites variáveis, que é super útil em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função $ f(x, y) $ representa. Ela é uma integral definida onde o limite inferior é $ \cos(y) $ e o limite superior é $ x^{2} $. A função dentro da integral é $ e{-t{2}} $, que é uma função bem conhecida na matemática.

Passo 3

Para encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, vamos usar a Regra de Leibniz para a diferenciação sob o sinal de integral. Essa regra nos diz como derivar integrais cujos limites dependem das variáveis em questão.

Passo 4

A Regra de Leibniz para uma função $ f(x, y) = \int_{a(y)}^{b(x)} F(t) , dt $ afirma que:
f(x, y) = integrala(y)^b(x) F(t) , dt
partial fpartial x = F(b(x)) cdot b'(x)
Nesse caso, $ F(t) = e{-t{2}} $, $ a(y) = \cos(y) $ e $ b(x) = x^{2} $.

Passo 5

Vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
partial fpartial x

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Primeiro, encontramos a derivada de $ a(y) = \cos(y) $:
partial fpartial y
Então,
a(y) = cos(y)

Resposta

O gradiente de $ f $ é dado por:
f

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