Calcule o gradiente de
(isto Ă©, descubra as derivadas parciais de primeira ordem):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente de uma função $ f(x, y) $, que basicamente significa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a $ x $ e $ y $. O enunciado nos dá:
Vamos precisar usar o conceito de derivação de integrais com limites variáveis, que é super útil em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função $ f(x, y) $ representa. Ela é uma integral definida onde o limite inferior é $ \cos(y) $ e o limite superior é $ x^{2} $. A função dentro da integral é $ e{-t{2}} $, que é uma função bem conhecida na matemática.
Passo 3
Para encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, vamos usar a Regra de Leibniz para a diferenciação sob o sinal de integral. Essa regra nos diz como derivar integrais cujos limites dependem das variáveis em questão.
Passo 4
A Regra de Leibniz para uma função $ f(x, y) = \int_{a(y)}^{b(x)} F(t) , dt $ afirma que:
Nesse caso, $ F(t) = e{-t{2}} $, $ a(y) = \cos(y) $ e $ b(x) = x^{2} $.
Passo 5
Vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Primeiro, encontramos a derivada de $ a(y) = \cos(y) $:
Então,
Resposta
O gradiente de $ f $ é dado por: