Calcule o gradiente de
(isto Ă©, descubra as derivadas parciais de primeira ordem):
Passo 1
Vamos começar resumindo o que precisa ser feito. Temos a função $ f(x, y, z) = x y \sin(y z) $ e precisamos calcular o gradiente dessa função. Isso envolve encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. No nosso caso, o gradiente de $ f $ será:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a $ x $. Ao derivar $ f(x, y, z) = x y \sin(y z) $ em relação a $ x $, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $. Aqui, precisamos aplicar a regra do produto, pois $ y $ aparece duas vezes na função:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos a derivada parcial em relação a $ z $. Novamente, usamos a regra do produto, já que $ z $ está dentro da função seno:
Resposta
O gradiente da função $ f(x, y, z) = x y \sin(y z) $ é dado por: