Calcule o gradiente de f nos casos
a) f(x, y)=5 x^2 y+2

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f(x,y)=5x^2y+2. Vamos usar cálculo multivariável: o gradiente é o vetor com as derivadas parciais de f em relação a x e a y.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y como constante. Derivando 5x^2y em relação a x: usamos a regra do potência em x (derivada de x^2 é 2x), então
partialpartial x(5x^2y)=5cdot2xcdot y=10xy,
e a derivada de 2 é zero. Logo partial fpartial x=10xy.

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos x como constante. Derivando 5x^2y em relação a y: a derivada de y é 1, então
partialpartial y(5x^2y)=5x^2cdot1=5x^2,
e a derivada de 2 é zero. Logo partial fpartial y=5x^2.

Passo 4

Agora montamos o gradiente juntando as duas derivadas parciais.

Resposta

nabla f(x,y)=(10xy,,5x^2)

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