Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
3. sumk=1^infty(-34)^k-1

Passo 1

Queremos estudar a série sumk=1^infty l(-tfrac34r)^k-1. O conteúdo está em séries geométricas, e precisaremos saber o critério de convergência e a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Numa série geométrica geral iniciando em k=1, escrevemos o primeiro termo como a = l(-tfrac34r)^1-1 = 1 e a razão como r = -tfrac34.

Passo 3

Para que uma série geométrica infinita convirja, precisamos que lvert rrvert < 1. Aqui, lvert -tfrac34rvert = tfrac34 < 1, então a série de fato converge.

Passo 4

Como a série converge, usamos a fórmula da soma:
S = a1 - r
Substituindo a = 1 e r = -tfrac34, temos
S = 11 - l(-tfrac34r) = 11 + tfrac34 = 1tfrac74 = 47

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac47.

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