Use a Regra da Cadeia para determinar d zd t ou d wd t
e) w=ln (x^2+y^2+z^2), x=sen(t), y=cos (t), z=tg(t)

Passo 1

O enunciado pede para usar a regra da cadeia para encontrar dwdt, onde w=ln(x^2+y^2+z^2) e as variáveis dependem de t por x=sin(t), y=cos(t), z=tan(t). O conteúdo é derivada de função composta de várias variáveis, e vamos precisar das derivadas parciais de w e das derivadas de x,y,z em relação a t.

Passo 2

Para funções de várias variáveis usamos a regra da cadeia na forma:
dwdt = partial wpartial xdxdt + partial wpartial ydydt + partial wpartial zdzdt

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de w. Como w=ln(u) com u=x^2+y^2+z^2, temos:
partial wpartial x = 1ucdot 2x = 2xx^2+y^2+z^2,
partial wpartial y = 2yx^2+y^2+z^2,
partial wpartial z = 2zx^2+y^2+z^2

Passo 4

Calculamos as derivadas das componentes:


Passo 5

Substituindo tudo em dwdt e simplificando, notamos primeiro que
x^2+y^2+z^2=sin^2t+cos^2t+tan^2t=1+tan^2t=sec^2t. Assim,
dwdt=2xcos t+2y(-sin t)+2zsec^2 tx^2+y^2+z^2 =2sin tcos t-2sin tcos t+2tan tsec^2 tsec^2 t =2tan t

Resposta

dwdt=2tan(t)

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