Calcule o gradiente de
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+x y z .

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+x y z
e pede para calcular o gradiente dessa função. Informações relevantes:
  • A função é definida em três variáveis (x,y,z).
  • O que se quer: o gradiente de f, isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a cada variável.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo (sem ainda calcular): \
O gradiente de uma função f(x,y,z) é o vetor que reúne as derivadas parciais de f em cada direção coordenada. Em notação,
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y},\\ \frac{\partial f}{\partial z}\right).
Cada derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} significa: derivar f tratando y e z como constantes; análogo para \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.

Passo 3

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (pequena aula):
  • Derivada de uma potência: para \,g(x)=x^{n}\, vale \,g'(x)=n x^{n-1}\,. Por exemplo \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Regra do produto (no caso de uma variável): se h(x)=u(x)\,v(x) então h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Para derivada parcial, quando um termo não depende da variável em que estamos diferenciando, sua derivada é zero (por exemplo \dfrac{\partial}{\partial x}y^{2}=0 porque y é tratado como constante).
No nosso problema o termo misto é x y z, que é produto de três fatores. Ao derivar em relação a uma variável, tratamos os outros fatores como constantes e aplicamos a regra do produto (na prática, a derivada de x y z em relação a x é simplesmente y z, porque \dfrac{d}{dx}x=1 e os outros permanecem constantes).

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo:
  • Derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • Derivada de y^{2} em relação a x é 0 (porque não depende de x).
  • Derivada de z^{2} em relação a x é 0.
  • Derivada de x y z em relação a x: como y e z são constantes aqui, temos \dfrac{\partial}{\partial x}(x y z)=y z.
    Somando:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x + y z.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo:
  • Derivada de x^{2} em relação a y é 0.
  • Derivada de y^{2} em relação a y é 2y.
  • Derivada de z^{2} em relação a y é 0.
  • Derivada de x y z em relação a y: aqui x e z são constantes, então \dfrac{\partial}{\partial y}(x y z)=x z.
    Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=2y + x z.

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z} passo a passo:
  • Derivada de x^{2} em relação a z é 0.
  • Derivada de y^{2} em relação a z é 0.
  • Derivada de z^{2} em relação a z é 2z.
  • Derivada de x y z em relação a z: com x e y constantes, \dfrac{\partial}{\partial z}(x y z)=x y.
    Somando:
\frac{\partial f}{\partial z}=2z + x y.

Passo 7

Montando o gradiente reunindo as três derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z)=\left(2x + y z,\; 2y + x z,\; 2z + x y\right).
Isto é o vetor cujas componentes são as taxas de variação de f nas direções x, y e z. Dica prática: memorize que cada componente tem o dobro da variável quadrada correspondente mais o produto das outras duas variáveis (vindo do termo misto x y z).

Passo 8

Exemplo numérico rápido para checar (prática, sem provar nada): avaliar o gradiente em (x,y,z)=(1,2,3).
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}=2\cdot1 + 2\cdot3 = 2 + 6 = 8.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}=2\cdot2 + 1\cdot3 = 4 + 3 = 7.
  • \dfrac{\partial f}{\partial z}=2\cdot3 + 1\cdot2 = 6 + 2 = 8.
    Logo \nabla f(1,2,3)=(8,7,8). Vai te ajudar a conferir se aplicares as fórmulas na prova.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\left(2x+yz,\;2y+xz,\;2z+xy\right).

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