Calcule o gradiente de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular o gradiente dessa função. Informações relevantes:
- A função é definida em três variáveis
. - O que se quer: o gradiente de
, isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável.
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo (sem ainda calcular): \
O gradiente de uma função é o vetor que reúne as derivadas parciais de
em cada direção coordenada. Em notação,
O gradiente de uma função
Cada derivada parcial
significa: derivar
tratando
e
como constantes; análogo para
e
.
Passo 3
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (pequena aula):
- Derivada de uma potência: para
vale . Por exemplo . - Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Regra do produto (no caso de uma variável): se
então . - Para derivada parcial, quando um termo não depende da variável em que estamos diferenciando, sua derivada é zero (por exemplo
porque é tratado como constante).
No nosso problema o termo misto é
, que é produto de três fatores. Ao derivar em relação a uma variável, tratamos os outros fatores como constantes e aplicamos a regra do produto (na prática, a derivada de
em relação a
é simplesmente
, porque
e os outros permanecem constantes).
Passo 4
Cálculo de
passo a passo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (porque não depende de ). - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a : como e são constantes aqui, temos .
Somando:
Passo 5
Cálculo de
passo a passo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a : aqui e são constantes, então .
Somando:
Passo 6
Cálculo de
passo a passo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a : com e constantes, .
Somando:
Passo 7
Montando o gradiente reunindo as três derivadas parciais:
Isto é o vetor cujas componentes são as taxas de variação de
nas direções
,
e
. Dica prática: memorize que cada componente tem o dobro da variável quadrada correspondente mais o produto das outras duas variáveis (vindo do termo misto
).
Passo 8
Exemplo numérico rápido para checar (prática, sem provar nada): avaliar o gradiente em
.
-
. -
. -
.
Logo. Vai te ajudar a conferir se aplicares as fórmulas na prova.