Encontre a derivada direcional de
f(x, y)=x^{2} y
no ponto (1,2) na direção do vetor \mathbf{v}=(3,4).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}y, o ponto (1,2) e o vetor de direção \mathbf{v}=(3,4). O que pede é: encontrar a derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção do vetor \mathbf{v}.

Passo 2

Entendendo o que é derivada direcional (intuitivamente): ela mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir do ponto dado numa certa direção, por unidade de comprimento nessa direção. A definição em forma de limite é
D_{\mathbf{u}}f(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f\big((a,b)+h\mathbf{u}\big)-f(a,b)}{h},
onde \mathbf{u} é um vetor unitário (norma igual a 1) que indica a direção. É importante usar um vetor unitário porque queremos a variação por unidade de deslocamento.
Primeiro passo prático: normalizar \mathbf{v}. A norma de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Logo o vetor unitário na direção de \mathbf{v} é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).

Passo 3

Fórmula prática muito usada (quando f é diferenciável) é que a derivada direcional na direção do vetor unitário \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}) é o produto escalar entre o gradiente de f e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf{u}.
Aqui \nabla f=(f_{x},f_{y}), onde f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f. Vamos calcular as parciais de f(x,y)=x^{2}y:
  • Para f_{x} (derivada parcial em relação a x), tratamos y como constante e derivamos x^{2}y em relação a x:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y\big)=2x y.
  • Para f_{y} (derivada parcial em relação a y), tratamos x como constante:
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y\big)=x^{2}.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,2):
f_{x}(1,2)=2\cdot1\cdot2=4,\qquad f_{y}(1,2)=1^{2}=1.
Portanto
\nabla f(1,2)=(4,1).

Passo 5

Agora a derivada direcional é o produto escalar entre \nabla f(1,2) e \mathbf{u}=\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right):
D_{\mathbf{u}}f(1,2)= (4,1)\cdot\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right) =4\cdot\tfrac{3}{5}+1\cdot\tfrac{4}{5}=\tfrac{12+4}{5}=\tfrac{16}{5}.
Em forma decimal isso dá \tfrac{16}{5}=3{,}2.

Passo 6

(Verificação alternativa via definição por limite, só para reforçar a intuição.)
Calcular f\big((1,2)+h\mathbf{u}\big) com \mathbf{u}=(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}):
f\!\left(1+\tfrac{3}{5}h,\;2+\tfrac{4}{5}h\right)=\left(1+\tfrac{3}{5}h\right)^{2}\!\left(2+\tfrac{4}{5}h\right).
Expandindo e guardando apenas termos até ordem h, o termo linear em h é \tfrac{16}{5}h, logo
\frac{f\big((1,2)+h\mathbf{u}\big)-f(1,2)}{h}\to \tfrac{16}{5}\quad\text{quando }h\to0,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{16}{5}

Exercícios relacionados