Encontre a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e o vetor de direção
. O que pede é: encontrar a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Passo 2
Entendendo o que é derivada direcional (intuitivamente): ela mede a taxa de variação de
quando nos movemos a partir do ponto dado numa certa direção, por unidade de comprimento nessa direção. A definição em forma de limite é
onde
é um vetor unitário (norma igual a
) que indica a direção. É importante usar um vetor unitário porque queremos a variação por unidade de deslocamento.
Primeiro passo prático: normalizar
. A norma de
é
Logo o vetor unitário na direção de
é
Passo 3
Fórmula prática muito usada (quando
é diferenciável) é que a derivada direcional na direção do vetor unitário
é o produto escalar entre o gradiente de
e
:
Aqui
, onde
e
são as derivadas parciais de
. Vamos calcular as parciais de
:
- Para
(derivada parcial em relação a ), tratamos como constante e derivamos em relação a :
- Para
(derivada parcial em relação a ), tratamos como constante:
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
:
Portanto
Passo 5
Agora a derivada direcional é o produto escalar entre
e
:
Em forma decimal isso dá
.
Passo 6
(Verificação alternativa via definição por limite, só para reforçar a intuição.)
Calcular com
:
Calcular
Expandindo e guardando apenas termos até ordem
, o termo linear em
é
, logo
confirmando o resultado anterior.