Calcule o gradiente para a função dada.
f(x, y, z)=x y \cos (y z)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente da função
f(x,y,z) = x\,y\cos(yz).
O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais \partial f/\partial x, \partial f/\partial y e \partial f/\partial z. Para isso, vamos usar as regras de derivação de produto e a regra da cadeia para \cos(yz).

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Nesse caso y e z são constantes, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y\cos(yz)\bigr) = y\cos(yz).

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Aplicamos a regra do produto em x\,y e \cos(yz):
\frac{\partial f}{\partial y} = x\cdot\cos(yz) + x\,y\cdot\bigl(-\sin(yz)\bigr)\cdot\frac{\partial (yz)}{\partial y}.
Como \partial(yz)/\partial y = z,
\frac{\partial f}{\partial y} = x\cos(yz) - x\,y\,z\sin(yz).

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Aqui x e y são constantes e usamos a regra da cadeia em \cos(yz):
\frac{\partial f}{\partial z} = x\,y\cdot\bigl(-\sin(yz)\bigr)\cdot\frac{\partial (yz)}{\partial z}.
Como \partial(yz)/\partial z = y,
\frac{\partial f}{\partial z} = -x\,y^{2}\sin(yz).

Passo 5

Juntando as três componentes, o gradiente é
\nabla f(x,y,z) = \bigl(\,\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\bigr).

Resposta

\nabla f(x,y,z) = \bigl(y\cos(yz),\;x\cos(yz)-x\,y\,z\sin(yz),\;-x\,y^{2}\sin(yz)\bigr).

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