Determine o gradiente da função dada no ponto indicado.
f(x, y)=\sqrt[2]{x^{3} y-y^{4}}\; (3; 2)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y)=\sqrt{x^{3}y - y^{4}}
no ponto (3,2).
O conteúdo chave é derivada parcial e regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Defina
h(x,y)=x^{3}y - y^{4},
de modo que f(x,y)=\bigl(h(x,y)\bigr)^{1/2}.
Para que f esteja bem definida, é preciso h(x,y)>0. No ponto (3,2) temos
h(3,2)=3^{3}\cdot2 - 2^{4}=27\cdot2 - 16=54 - 16=38>0,
logo f é diferenciável ali.

Passo 3

Usamos a regra da cadeia. Para a derivada parcial em relação a x:
f_{x}(x,y) =\frac{1}{2}\bigl(h(x,y)\bigr)^{-1/2}\,\frac{\partial h}{\partial x}(x,y).
Como
\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=3x^{2}y,
vem
f_{x}(x,y) =\frac{1}{2\,\sqrt{h(x,y)}}\;(3x^{2}y).
Para a derivada parcial em relação a y:
f_{y}(x,y) =\frac{1}{2}\bigl(h(x,y)\bigr)^{-1/2}\,\frac{\partial h}{\partial y}(x,y),
e
\frac{\partial h}{\partial y}(x,y)=x^{3}-4y^{3},
logo
f_{y}(x,y) =\frac{1}{2\,\sqrt{h(x,y)}}\;(x^{3}-4y^{3}).

Passo 4

Agora avaliamos em (3,2). Já temos h(3,2)=38.
Para f_{x}(3,2):
f_{x}(3,2) =\frac{1}{2\sqrt{38}}\;(3\cdot3^{2}\cdot2) =\frac{1}{2\sqrt{38}}\;(3\cdot9\cdot2) =\frac{54}{2\sqrt{38}} =\frac{27}{\sqrt{38}}.
Para f_{y}(3,2):
x^{3}-4y^{3}\bigl|_{(3,2)}=3^{3}-4\cdot2^{3}=27-32=-5,
então
f_{y}(3,2) =\frac{-5}{2\sqrt{38}}.

Resposta

\nabla f(3,2) =\Bigl(f_{x}(3,2),\,f_{y}(3,2)\Bigr) =\Bigl(\tfrac{27}{\sqrt{38}},\,-\tfrac{5}{2\sqrt{38}}\Bigr).

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