Determine o gradiente da função dada no ponto indicado.
Passo 1
O enunciado pede o gradiente de
no ponto
.
O conteúdo chave é derivada parcial e regra da cadeia para funções compostas.
O conteúdo chave é derivada parcial e regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Defina
de modo que
.
Para que esteja bem definida, é preciso
. No ponto
temos
Para que
logo
é diferenciável ali.
Passo 3
Usamos a regra da cadeia. Para a derivada parcial em relação a
:
Como
vem
Para a derivada parcial em relação a
:
e
logo
Passo 4
Agora avaliamos em
. Já temos
.
Para :
Para
Para
:
então