Seja f uma função que satisfaz a f(t+T)=f(t) para todo t \geq 0 e para um certo número positivo fixo T, isto é, f é periódica com período T em 0 \leq t \leq \infty. Mostre que
\mathscr{L}\{f\}(s)=\frac{\int_{o}^{T} e^{-s t} f(t) d t}{1-e^{-s T}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de uma função periódica de período T>0, isto é, f(t+T)=f(t) para todo t\ge0. O conteúdo aqui é a definição da transformada de Laplace e o uso de somatório de integrais em intervalos de comprimento T.

Passo 2

Pela definição, a transformada de Laplace de f é
\mathscr{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt.
Como f é periódica de período T, podemos decompor essa integral em somatório sobre cada período:
\mathscr{L}\{f\}(s) =\sum_{n=0}^{\infty}\int_{nT}^{(n+1)T}e^{-s t}f(t)\,dt.

Passo 3

Em cada termo do somatório fazemos a mudança de variável t=nT+u, onde u varia de 0 a T. Como f(nT+u)=f(u), cada integral torna-se
\int_{nT}^{(n+1)T}e^{-s t}f(t)\,dt =\int_{0}^{T}e^{-s (nT+u)}f(u)\,du =e^{-s nT}\int_{0}^{T}e^{-s u}f(u)\,du.

Passo 4

Substituindo no somatório,
\mathscr{L}\{f\}(s) =\sum_{n=0}^{\infty}e^{-s nT}\int_{0}^{T}e^{-s u}f(u)\,du =\Bigl(\int_{0}^{T}e^{-s u}f(u)\,du\Bigr)\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(e^{-sT}\bigr)^{n}.
O segundo fator é uma série geométrica que converge para \frac{1}{1-e^{-sT}} sempre que \Re(s)>0.

Passo 5

Logo obtemos
\mathscr{L}\{f\}(s) =\frac{\displaystyle\int_{0}^{T}e^{-s u}f(u)\,du}{1-e^{-sT}}.

Resposta

\mathscr{L}\{f\}(s) =\frac{\int_{0}^{T}e^{-s t}f(t)\,dt}{1-e^{-s T}}.

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