Calcule o gradiente das funções f definidas por
f(x, y, z)=1x^2+y^2+z^2 se (x, y, z) neq 0.

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y,z)=1x^2+y^2+z^2
para (x,y,z)neq(0,0,0). O gradiente nabla f é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f. Vamos usar a regra da cadeia porque f é uma função composta de u=x^2+y^2+z^2 com a função potência u^-1.

Passo 2

Defina
u = x^2+y^2+z^2,
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f = u^-1
Pela regra da cadeia, para a variável x temos
partial fpartial x = d(u^-1)du,partial upartial x = (-1),u^-2,partial upartial x

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de u:
partial upartial x=2x, partial upartial y=2y, partial upartial z=2z
Substituindo em cada derivada de f, obtemos
partial fpartial x = -1cdot u^-2cdot 2x = -2xu^2,
e de modo análogo
partial fpartial y = -2yu^2, partial fpartial z = -2zu^2

Passo 4

Volte a substituir u=x^2+y^2+z^2 e organize em vetor. O gradiente é
nabla f(x,y,z) =l(,-tfrac2x(x^2+y^2+z^2)^2,; -tfrac2y(x^2+y^2+z^2)^2,; -tfrac2z(x^2+y^2+z^2)^2r)

Resposta

nabla f(x,y,z) =l(-2x(x^2+y^2+z^2)^2,; -2y(x^2+y^2+z^2)^2,; -2z(x^2+y^2+z^2)^2r)

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