Calcule o gradiente das funções f definidas por
f(x, y, z)=ln (e^x+e^y+e^z)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente da função
f(x,y,z)=lnl(e^x+e^y+e^zr)
O conteúdo aqui é derivada parcial em funções de várias variáveis, usando a regra da cadeia e a definição de gradiente.

Passo 2

Lembrando que o gradiente de f é o vetor das derivadas parciais
nabla f(x,y,z) = l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr)
E que, para f(u)=ln(u), vale
dduln(u)=1u

Passo 3

Para calcular partial fpartial x definimos
u(x,y,z)=e^x+e^y+e^z,
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partial fpartial x =1u,partial upartial x =1e^x+e^y+e^zcdot e^x =e^xe^x+e^y+e^z

Passo 4

De modo análogo, para as outras variáveis temos
partial fpartial y =e^ye^x+e^y+e^z, partial fpartial z =e^ze^x+e^y+e^z

Passo 5

Agora é só agrupar as derivadas parciais no vetor gradiente:
nabla f(x,y,z) =l(tfrace^xe^x+e^y+e^z,;tfrace^ye^x+e^y+e^z,;tfrace^ze^x+e^y+e^zr)

Resposta

nabla f(x,y,z) =l(tfrace^xe^x+e^y+e^z,;tfrace^ye^x+e^y+e^z,;tfrace^ze^x+e^y+e^zr)

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