Calcule o gradiente das funções f definidas por
f(x, y)=x^3+y^3-3 x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o gradiente de ,f:R^2toR definido por
f(x,y)=x^3+y^3-3,x,y
O gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f em relação a x e a y.

Passo 2

Para calcular a derivada parcial de f em relação a x, partial f/partial x, tratamos y como constante. Usando a regra de potência e a derivada de um produto constante:
partial(x^3)/partial x = 3x^2.
partial(y^3)/partial x = 0.
partial(-3,x,y)/partial x = -3,y.
Logo,
partial fpartial x(x,y)=3x^2-3y

Passo 3

Para calcular a derivada parcial de f em relação a y, partial f/partial y, tratamos x como constante:
partial(y^3)/partial y = 3y^2.
partial(x^3)/partial y = 0.
partial(-3,x,y)/partial y = -3,x.
Logo,
partial fpartial y(x,y)=3y^2-3x

Passo 4

Reunindo as duas derivadas parciais, obtemos o gradiente de f:
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x(x,y),,partial fpartial y(x,y)r)

Resposta

nabla f(x,y)=l(3x^2-3y,;3y^2-3xr)

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