Calcule o gradiente das funções f definidas por
f(x, y)=raizx^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f(x,y)=raizx^2-y^2. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Como f(x,y)=(x^2-y^2)^1/2, vamos usar a regra da cadeia: se f(u)=u^1/2 e u(x,y)=x^2-y^2, então
partial fpartial x =12raizupartial upartial x, partial fpartial y =12raizupartial upartial y

Passo 2

Calculemos partial u/partial x, onde u=x^2-y^2. Temos
partial upartial x =partialpartial x(x^2-y^2) =2x
Substituindo na regra da cadeia,
partial fpartial x =12raizx^2-y^2cdot 2x =xraizx^2-y^2

Passo 3

Agora partial u/partial y. Como u=x^2-y^2,
partial upartial y =partialpartial y(x^2-y^2) =-2y
Logo,
partial fpartial y =12raizx^2-y^2cdot(-2y) =-yraizx^2-y^2

Passo 4

Reunindo as duas derivadas parciais no vetor gradiente, obtemos
nabla f(x,y) =l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) =l(xraizx^2-y^2,,-yraizx^2-y^2r)

Resposta

nabla f(x,y) =l(xraizx^2-y^2,,-yraizx^2-y^2r),
válido para x^2>y^2.

Exercícios relacionados