Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternante
e pede para classificá-la em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso vamos usar o Teste de Leibniz (para alternantes) e o Teste da Integral (para a soma dos módulos dos termos).
Passo 2
Definimos
Primeiro vemos que
e
Para aplicar o Teste de Leibniz também precisamos que
seja decrescente. Note que a função
tem derivada
logo
é estritamente decrescente em
e assim
é decrescente.
Passo 3
Pelas condições do Teste de Leibniz (série alternante,
), concluímos que
converge.
Passo 4
Agora investigamos a convergência absoluta, ou seja, a série de termos positivos
Usamos o Teste da Integral. Considere
Fazendo
, temos
e os limites vão de
até
. Logo
Como a integral converge, a série
também converge.
Passo 5
Visto que a série original converge (por Leibniz) e que a série dos módulos
converge (por integral), concluímos que a série é absolutamente convergente.
Resposta
A série
é absolutamente convergente.