Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=2^+infty(-1)^n+1 1n(ln n)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternante
sumn=2^infty(-1)^n+11n(ln n)^2
e pede para classificá-la em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso vamos usar o Teste de Leibniz (para alternantes) e o Teste da Integral (para a soma dos módulos dos termos).

Passo 2

Definimos
an = 1n(ln n)^2(n>=2)
Primeiro vemos que an>0 e
limntoinftyan =limntoinfty1n(ln n)^2=0
Para aplicar o Teste de Leibniz também precisamos que (an) seja decrescente. Note que a função
f(x)=1x(ln x)^2, x>1
tem derivada
f'(x) =-1+2ln xx^2(ln x)^3<0para x>1,
logo f é estritamente decrescente em [2,infty) e assim an é decrescente.

Passo 3

Pelas condições do Teste de Leibniz (série alternante, ansearrow0), concluímos que
sumn=2^infty(-1)^n+1an
converge.

Passo 4

Agora investigamos a convergência absoluta, ou seja, a série de termos positivos
sumn=2^inftyan =sumn=2^infty1n(ln n)^2
Usamos o Teste da Integral. Considere
integral2^inftydxx(ln x)^2
Fazendo u=ln x, temos du=dx/x e os limites vão de u=ln2 até utoinfty. Logo
integral2^inftydxx(ln x)^2 =integralln2^inftyu^-2,du =l[-u^-1r]ln2^infty =1ln2<infty
Como a integral converge, a série sum an também converge.

Passo 5

Visto que a série original converge (por Leibniz) e que a série dos módulos sum an converge (por integral), concluímos que a série é absolutamente convergente.

Resposta

A série
sumn=2^infty(-1)^n+11n(ln n)^2
é absolutamente convergente.

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