Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é teste de comparação para séries de termos não negativos (ao considerarmos o valor absoluto) e uso da expansão de Taylor de ou de desigualdades trigonométricas para obter um majorante.
Passo 2
Usamos a identidade
e a desigualdade . Assim, para todo ,
Passo 3
Aplicando na desigualdade acima, obtemos
Logo, para todos ,
Passo 4
Como sumn=1^infty2n^2 é convergente (é uma p-série com p=2>1), segue por comparação que
sumn=1^inftyl|(-1)^nl(1-costfrac2nr)r|
converge. Portanto a série original é absolutamente convergente.