Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.
sumn=1^+infty(-1)^n(1-cos 2n)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^nl(1-costfrac2nr)
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é teste de comparação para séries de termos não negativos (ao considerarmos o valor absoluto) e uso da expansão de Taylor de cos x ou de desigualdades trigonométricas para obter um majorante.

Passo 2

Usamos a identidade
1-cos x ;=;2sin^2!l(tfracx2r)
e a desigualdade lvertsin yrvert<=lvert yrvert. Assim, para todo xinR,
1-cos x =2sin^2!l(tfracx2r) <= 2l(tfracx2r)^2 =x^22

Passo 3

Aplicando x=tfrac2n na desigualdade acima, obtemos
1-cos!l(tfrac2nr) <= 12,l(tfrac2nr)^2 =2n^2
Logo, para todos n>=1,
l|(-1)^nl(1-costfrac2nr)r| =1-costfrac2n <= 2n^2

Passo 4

Como sumn=1^infty2n^2 é convergente (é uma p-série com p=2>1), segue por comparação que
sumn=1^inftyl|(-1)^nl(1-costfrac2nr)r|
converge. Portanto a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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