Mostre que:
Se sumn=1^+infty|an| converge e bn=llan, & se an >= 0 0, & se an<0, então sumn=1^+infty bn converge.

Passo 1

O enunciado afirma que
Precisamos mostrar que e converge, então também converge.

Passo 2

Para todo n temos bn>=0 por definição. Além disso, quando an>=0 vale bn=an<=lvert anrvert, e quando an<0 vale bn=0<=lvert anrvert. Logo em ambos os casos
0 <= bn <= lvert anrvert

Passo 3

Como sumn=1^+inftylvert anrvert converge e cada bn satisfaz 0<= bn<=lvert anrvert, pelo teste de comparação para séries de termos não-negativos concluímos que sumn=1^+inftybn converge.

Resposta

A série sumn=1^+inftybn converge por comparação com sumn=1^+inftylvert anrvert.

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