Calcule o gradiente das funções f definidas por
f(x, y, z)=e^x y-x cos (y z^2)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y,z)=e^xy-xcosl(yz^2r)
Para isso vamos usar derivadas parciais, aplicando regra do produto (quando aparece xcos(cdot)) e regra da cadeia (para e^xy e cos(yz^2)).

Passo 2

Calcular partial fpartial x:
– Para e^xy,
partialpartial xe^xy = y,e^xy
– Para -xcos(yz^2), trataremos como produto de -x por cos(yz^2):
partialpartial xl(-xcos(yz^2)r) =-cos(yz^2);+;-xcdot0 =-cos(yz^2)
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partial fpartial x = y,e^xy-cos(yz^2)

Passo 3

Calcular partial fpartial y:
– Para e^xy,
partialpartial ye^xy = x,e^xy
– Para -xcos(yz^2), x é constante e aplicamos regra da cadeia em cos(yz^2):
ddycos(yz^2) =-sin(yz^2)cdotddy(yz^2) =-sin(yz^2),z^2
Multiplicando por -x
partialpartial yl(-xcos(yz^2)r) =-xl[-sin(yz^2),z^2r] = x,z^2sin(yz^2)
Assim
partial fpartial y = x,e^xy + x,z^2sin(yz^2)

Passo 4

Calcular partial fpartial z:
e^xy não depende de z, dá 0.
– Em -xcos(yz^2), x é constante e aplicamos regra da cadeia em cos(yz^2):
ddzcos(yz^2) =-sin(yz^2)cdotddz(yz^2) =-sin(yz^2),(2yz)
Multiplicando por -x resulta
partialpartial zl(-xcos(yz^2)r) =-xl[-2yzsin(yz^2)r] =2xyz,sin(yz^2)
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partial fpartial z =2,x,y,z,sin(yz^2)

Passo 5

Agora juntamos as três componentes para formar o gradiente:
nabla f(x,y,z) =l( y,e^xy-cos(yz^2),; x,e^xy+x,z^2sin(yz^2),; 2,x,y,z,sin(yz^2) r)

Resposta

nabla f(x,y,z) =l(y,e^xy-cos(yz^2),;x,e^xy+x,z^2sin(yz^2),;2,x,y,z,sin(yz^2)r)

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