Sejam
r=x i+y j+z k, r=|r|=raizx^2+y^2+z^2
Calcule
nabla(1r),|nabla(1r)|

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de uma função escalar 1/r, onde vec r = x,i + y,j + z,k e r = |vec r| = raizx^2+y^2+z^2, e em seguida a norma desse gradiente. O conteúdo envolve cálculo vetorial: derivada direcional, regra da cadeia e definição de gradiente em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Usamos a regra da cadeia para funções compostas: se f(r)=1/r, então
nablal(f(r)r)=f'(r),nabla r
Como
f'(r) = -1r^2
e
nabla r = partial rpartial x,i+partial rpartial y,j+partial rpartial z,k = xr,i + yr,j + zr,k = vec rr,
segue que
nabla!l(tfrac1rr) = -1r^2,vec rr = -vec rr^3

Passo 3

Para a norma do gradiente, usamos que a norma de um múltiplo escalar de vetor é o valor absoluto do escalar vezes a norma do vetor:
l|nabla!l(tfrac1rr)r| = l|-vec rr^3r| = 1r^3,|vec r| = rr^3 = 1r^2

Resposta

nabla!l(tfrac1rr) = -vec rr^3,
l|nabla!l(tfrac1rr)r| = 1r^2

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