Uma casca esférica grossa de raio interno a e raio externo b possui densidade volumétrica de carga \rho_{0}= const. Calcule o potencial elétrico desta configuração em todo espaço .

Passo 1

O enunciado pede: calcular o potencial elétrico em todo o espaço para uma casca esférica grossa (anel esférico) com raio interno a e raio externo b e densidade volumétrica de carga constante \rho_{0}.
Informações dadas e o que devemos fornecer:
  • A geometria: casca esférica com a (raio interno) e b (raio externo), 0\le a<b.
  • A densidade de carga: \rho_{0}= constante dentro da casca (ou seja, para a<r<b) e zero fora da casca e no interior do vazio ( r<a).
  • Queremos o potencial elétrico V(r) para todo r\ge 0 (todas as regiões do espaço).
    Condição de referência usual: adotaremos V(\infty)=0 (potencial nulo no infinito).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (em linguagem simples): devido à simetria esférica, o campo elétrico \mathbf{E} é radial e depende apenas da distância r ao centro. É muito prático usar a Lei de Gauss para obter E(r) em cada região e então obter o potencial por integração usando a relação entre campo e potencial:
\mathbf{E}(r) = -\nabla V(r)\quad\Rightarrow\quad E_r(r) = -\frac{dV}{dr}.
Vou explicar a Lei de Gauss e depois integrar para achar V(r). A escolha por Gauss é natural aqui porque a simetria esférica torna a aplicação direta e simples.

Passo 3

Breve aula sobre a Lei de Gauss e como aplicá-la aqui: A Lei de Gauss em forma integral diz que o fluxo elétrico por uma superfície fechada S é igual à carga total Q_{\text{int}} dentro da superfície dividida por \varepsilon_0:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Para uma superfície esférica de raio r concentricamente ao corpo, \mathbf{E} é radial e igual em toda a esfera, então o fluxo é E_r(r)\cdot 4\pi r^2. Logo:
E_r(r)\,4\pi r^2=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E_r(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_{\text{int}}(r)}{r^2}.
Precisamos então encontrar Q_{\text{int}}(r) — a carga total contida numa esfera de raio r — em cada região (dependendo de r relativo a a e b).

Passo 4

Cálculo da carga total do casco (útil para a região externa): o volume do material carregado entre r=a e r=b é \frac{4}{3}\pi(b^3-a^3). A carga total é
Q=\rho_{0}\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(b^3-a^3\bigr).

Passo 5

Encontrar E(r) em cada região:
  • Região 1: r\ge b (fora da casca). A carga interna é toda a carga Q. Assim
E_r(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2} =\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0}\,\frac{b^3-a^3}{r^2}.
  • Região 2: a<r<b (dentro do material carregado). A carga interna até raio r é a carga do volume entre a e r:
Q_{\text{int}}(r)=\rho_{0}\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(r^3-a^3\bigr).
Logo
E_r(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_{\text{int}}(r)}{r^2} =\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0}\left(r-\frac{a^3}{r^2}\right).
  • Região 3: r\le a (interior da cavidade). Não há carga encerrada, Q_{\text{int}}(r)=0, então
E_r(r)=0.
Vou sempre considerar E_r apontando radialmente para fora; os sinais aparecerão corretamente ao integrar para V.

Passo 6

Relação entre campo e potencial e condição de contorno: usamos
E_r(r)=-\frac{dV}{dr},
e a condição escolhida
V(\infty)=0.
Uma estratégia prática: primeiro obter V(r) para r\ge b diretamente, depois usar continuidade de V e integração para as regiões internas.

Passo 7

Potencial para r\ge b (fora da casca): integrando com V(\infty)=0 e campo do tipo \propto 1/r^2 dá a forma conhecida de um ponto carga:
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r} =\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0}\,\frac{b^3-a^3}{r},\qquad r\ge b.
Explicação curta: -\displaystyle\int_{\infty}^{r}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r'^2}dr'=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}.

Passo 8

Potencial para a<r<b (dentro do material): use continuidade no ponto r=b. Primeiro o valor em r=b já conhecido:
V(b)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0}\,\frac{b^3-a^3}{b} =\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0}\Bigl(b^2-\frac{a^3}{b}\Bigr).
Para a<r<b usamos
V(r)=V(b)-\int_{b}^{r}E_r(r')\,dr',
com E_r(r')=\dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0}\!\left(r'-\dfrac{a^3}{r'^2}\right). Vamos integrar cuidadosamente:
\int_{b}^{r}\left(r'-\frac{a^3}{r'^2}\right)dr' =\left[\frac{1}{2}r'^2+\frac{a^3}{r'}\right]_{b}^{r} =\frac{1}{2}r^2+\frac{a^3}{r}-\frac{1}{2}b^2-\frac{a^3}{b}.
Multiplicando por \dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0} e subtraindo de V(b) obtemos
V(r)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0}\Bigl(b^2-\frac{a^3}{b}\Bigr) -\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{2}r^2+\frac{a^3}{r}-\frac{1}{2}b^2-\frac{a^3}{b}\Bigr).
Agora simplificamos os termos (observe que os termos -\dfrac{a^3}{b} e +\dfrac{a^3}{b} se cancelam):
V(r)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0}\Bigl(\tfrac{3}{2}b^2-\tfrac{1}{2}r^2-\frac{a^3}{r}\Bigr),\qquad a<r<b.

Passo 9

Potencial para r\le a (interior da cavidade): como E_r=0 nesta região, o potencial é constante e igual ao valor em r=a. Calculamos V(a) a partir da expressão da região interna:
substituindo r=a em V(r) para a<r<b,
V(a)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0}\Bigl(\tfrac{3}{2}b^2-\tfrac{1}{2}a^2-\frac{a^3}{a}\Bigr) =\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0}\Bigl(\tfrac{3}{2}b^2-\tfrac{1}{2}a^2-a^2\Bigr).
Simplificando:
V(a)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0}\Bigl(\tfrac{3}{2}b^2-\tfrac{3}{2}a^2\Bigr) =\frac{\rho_{0}}{2\varepsilon_0}\bigl(b^2-a^2\bigr).
Portanto, para r\le a (interior), V(r) é igual a essa constante:
V(r)=\frac{\rho_{0}}{2\varepsilon_0}\bigl(b^2-a^2\bigr),\qquad r\le a.

Passo 10

Resumo rápido e checagem de continuidade (controle de qualidade): as expressões obtidas são contínuas em r=b e r=a (verificando substituindo r=b e r=a nas fórmulas apropriadas), e obedecem à condição V(\infty)=0. O campo resultante a partir dessas potencias via E=-dV/dr reproduz as fórmulas do Passo 5, então está consistente.

Resposta

\text{Para } r\ge b:\quad V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r} =\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0}\,\frac{b^3-a^3}{r}.
\text{Para } a<r<b:\quad V(r)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_0}\Bigl(\tfrac{3}{2}b^2-\tfrac{1}{2}r^2-\frac{a^3}{r}\Bigr).
\text{Para } r\le a:\quad V(r)=\frac{\rho_{0}}{2\varepsilon_0}\bigl(b^2-a^2\bigr).

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