Uma casca esférica grossa de raio interno
e raio externo
possui densidade volumétrica de carga
const. Calcule o potencial elétrico desta configuração em todo espaço .
Passo 1
O enunciado pede: calcular o potencial elétrico em todo o espaço para uma casca esférica grossa (anel esférico) com raio interno
e raio externo
e densidade volumétrica de carga constante
.
Informações dadas e o que devemos fornecer:
Informações dadas e o que devemos fornecer:
- A geometria: casca esférica com
(raio interno) e (raio externo), . - A densidade de carga:
constante dentro da casca (ou seja, para ) e zero fora da casca e no interior do vazio ( ). - Queremos o potencial elétrico
para todo (todas as regiões do espaço).
Condição de referência usual: adotaremos(potencial nulo no infinito).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (em linguagem simples): devido à simetria esférica, o campo elétrico
é radial e depende apenas da distância
ao centro. É muito prático usar a Lei de Gauss para obter
em cada região e então obter o potencial por integração usando a relação entre campo e potencial:
Vou explicar a Lei de Gauss e depois integrar para achar
. A escolha por Gauss é natural aqui porque a simetria esférica torna a aplicação direta e simples.
Passo 3
Breve aula sobre a Lei de Gauss e como aplicá-la aqui: A Lei de Gauss em forma integral diz que o fluxo elétrico por uma superfície fechada
é igual à carga total
dentro da superfície dividida por
:
Para uma superfície esférica de raio
concentricamente ao corpo,
é radial e igual em toda a esfera, então o fluxo é
. Logo:
Precisamos então encontrar
— a carga total contida numa esfera de raio
— em cada região (dependendo de
relativo a
e
).
Passo 4
Cálculo da carga total do casco (útil para a região externa): o volume do material carregado entre
e
é
. A carga total é
Passo 5
Encontrar
em cada região:
- Região 1:
(fora da casca). A carga interna é toda a carga . Assim
- Região 2:
(dentro do material carregado). A carga interna até raio é a carga do volume entre e :
Logo
- Região 3:
(interior da cavidade). Não há carga encerrada, , então
Vou sempre considerar
apontando radialmente para fora; os sinais aparecerão corretamente ao integrar para
.
Passo 6
Relação entre campo e potencial e condição de contorno: usamos
e a condição escolhida
Uma estratégia prática: primeiro obter
para
diretamente, depois usar continuidade de
e integração para as regiões internas.
Passo 7
Potencial para
(fora da casca): integrando com
e campo do tipo
dá a forma conhecida de um ponto carga:
Explicação curta:
.
Passo 8
Potencial para
(dentro do material): use continuidade no ponto
. Primeiro o valor em
já conhecido:
Para
usamos
com
. Vamos integrar cuidadosamente:
Multiplicando por
e subtraindo de
obtemos
Agora simplificamos os termos (observe que os termos
e
se cancelam):
Passo 9
Potencial para
(interior da cavidade): como
nesta região, o potencial é constante e igual ao valor em
. Calculamos
a partir da expressão da região interna:
substituindo em
para
,
substituindo
Simplificando:
Portanto, para
(interior),
é igual a essa constante:
Passo 10
Resumo rápido e checagem de continuidade (controle de qualidade): as expressões obtidas são contínuas em
e
(verificando substituindo
e
nas fórmulas apropriadas), e obedecem à condição
. O campo resultante a partir dessas potencias via
reproduz as fórmulas do Passo 5, então está consistente.