Calcule o gradiente
dos seguintes campos escalares:
,
Passo 1
O enunciado pede o gradiente de f(x,y,z)=ln(x2+2y3−z^4). O conteúdo é cálculo de gradiente usando regra da cadeia e derivadas parciais.
Passo 2
Definimos g(x,y,z)=x2+2y3−z^4, de modo que f=ln(g). Pela regra da cadeia, cada derivada parcial é ∂f/∂xi=(1/g)·∂g/∂xi, portanto ∇f=(1/g)∇g.
Passo 3
Calculamos ∂g/∂x: como g=x2+2y3−z^4, temos ∂g/∂x=2x. Logo ∂f/∂x=2x/(x2+2y3−z^4).
Calculamos ∂g/∂y: como g=x2+2y3−z^4, temos ∂g/∂y=6y^2. Logo ∂f/∂y=6y2/(x2+2y3−z4).
Calculamos ∂g/∂z: como g=x2+2y3−z^4, temos ∂g/∂z=−4z^3. Logo ∂f/∂z=−4z3/(x2+2y3−z4).
Calculamos ∂g/∂y: como g=x2+2y3−z^4, temos ∂g/∂y=6y^2. Logo ∂f/∂y=6y2/(x2+2y3−z4).
Calculamos ∂g/∂z: como g=x2+2y3−z^4, temos ∂g/∂z=−4z^3. Logo ∂f/∂z=−4z3/(x2+2y3−z4).