Calcule os limites abaixo.
(n) lim x +infty(1+12 x)^x

Passo 1

Estamos calculando o limite limxto+inftyl(1+tfrac12xr)^x. O conteúdo aqui é um limite exponencial, onde a base tende a 1 e o expoente tende ao infinito.

Passo 2

Definimos L=limxto+inftyl(1+tfrac12xr)^x e aplicamos logaritmo natural. Se o limite existir e for positivo, temos
ln L=limxto+inftyxlnl(1+tfrac12xr)

Passo 3

Como xto+infty, o termo tfrac12xto0. Usamos a expansão de Taylor para logaritmo:
ln(1+u)=u+o(u) quando uto0. Assim,
xlnl(1+tfrac12xr)=xl(tfrac12x+ol(tfrac12xr)r)=tfrac12+o(1)totfrac12
Portanto ln L=tfrac12.

Passo 4

Elevando exponencialmente, obtemos L=e^1/2=raize. Então o limite pedido é raize.

Resposta

raize

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