Calcule o gradiente nabla f dos seguintes campos escalares:
f(x, y)=e^x^2 sin y,

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de um campo escalar, que é um par de derivadas parciais. O conteúdo aplicado aqui é a definição de gradiente e as regras de derivação (regra da cadeia). Vamos precisar usar que nabla f = l(partial f/partial x,;partial f/partial yr).

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, percebemos que sin y é tratado como constante em relação a x. Aplicando a regra da cadeia em e^x^2, temos
partial fpartial x = sin y cdot ddxl(e^x^2r) = sin y cdot (2x e^x^2) = 2x e^x^2 sin y

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, agora e^x^2 é constante em relação a y e usamos a derivada de sin y:
partial fpartial y = e^x^2 cdot ddy(sin y) = e^x^2 cos y

Passo 4

Finalmente, juntamos as duas componentes no vetor gradiente:

Resposta

$$\nabla f(x,y) = \bigl(2x e{x2} \sin y,; e{x2} \cos y\bigr).
$$

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