Calcule o gradiente nabla f dos seguintes campos escalares:
f(x, y)=x^2+y cos (x y),

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de f(x,y)=x^2+y,cos(xy). Esse é um problema de cálculo de derivadas parciais, pois o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, note que f(x,y)=x^2 + ycos(xy) é soma de duas funções. A derivada de x^2 em relação a x é 2x. Para ycos(xy), tratamos y como constante e aplicamos produto e regra da cadeia: derivada de cos(xy) é -sin(xy) vezes a derivada interna partialx(xy)=y. Assim,
partialpartial xl(ycos(xy)r)=ycdot(-sin(xy))cdot y=-y^2sin(xy)
Somando as duas partes, obtemos
partial fpartial x=2x - y^2sin(xy)

Passo 3

Agora calculamos partial fpartial y. De novo, x^2 é constante em relação a y, então sua derivada é zero. Para ycos(xy) usamos produto: derivada de y é 1, multiplicando por cos(xy), mais y vezes a derivada de cos(xy), que é -sin(xy)) vezes partialy(xy)=x. Assim,
partialpartial yl(ycos(xy)r)=cos(xy)+ycdot(-sin(xy))cdot x=cos(xy)-xysin(xy)

Passo 4

Portanto, o gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais que acabamos de achar.

Resposta

nabla f(x,y)=l(2x - y^2sin(xy),,cos(xy) - xysin(xy)r)

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