Calcule o gradiente da seguinte função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função $ f(x, y) = 3x^{2} - xy + y $. O gradiente é uma ferramenta da matemática que nos mostra a direção de crescimento mais rápido da função. Para isso, precisamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, como $ f(x, y) $, é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja, $ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante e derivamos $ f $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante:
Resposta
O gradiente da função $ f(x, y) = 3x^{2} - xy + y $ é dado por: