Calcule o gradiente da seguinte função.
f(x, y, z)=x^2 y+y^2 z+z^2 x.

Passo 1

Estamos com a função f(x,y,z)=x²y+y²z+z²x e queremos encontrar seu gradiente, que é o vetor formado pelas derivadas parciais (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z).

Passo 2

Para calcular ∂f/∂x, tratamos y e z como constantes. A derivada de x²y em relação a x é 2xy, de y²z é zero e de z²x é z². Portanto temos:
partial fpartial x=2xy+z^2

Passo 3

Para calcular ∂f/∂y, tratamos x e z como constantes. A derivada de x²y em relação a y é x², de y²z é 2yz e de z²x é zero. Assim:
partial fpartial y=x^2+2yz

Passo 4

Para calcular ∂f/∂z, tratamos x e y como constantes. A derivada de x²y é zero, de y²z é y² e de z²x é 2zx. Logo:
partial fpartial z=y^2+2zx

Resposta

nabla f(x,y,z)=(2xy+z^2,;x^2+2yz,;y^2+2zx)

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