Calcule as integrais iteradas abaixo.
integral0^3 integral0^x x^2 e^x y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo. A questão pede para calcular a integral iterada integral0^3 integral0^x x^2 e^x y , dy , dx. A matéria aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e como lidar com integrais iteradas, ou seja, uma integral dentro da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a y. Isso significa que tratamos x como uma constante. A integral interna é:
integral0^x x^2 e^x y , dy
Para resolver isso, notamos que x^2 é constante em relação a y, então podemos tirar x^2 da integral:
x^2 integral0^x e^x y , dy

Passo 3

Agora, precisamos integrar e^x y em relação a y. A integral de e^k y em relação a y é 1k e^k y, onde k é uma constante. Aqui, k = x, então temos:
integral e^x y , dy = 1x e^x y + C
Aplicando os limites de 0 a x:
1x e^x cdot x - 1x e^x cdot 0 = 1x e^x^2 - 1x e^0 = e^x^2 - 1x

Passo 4

Voltando à integral interna multiplicada pelo x^2:
x^2 cdot e^x^2 - 1x = x (e^x^2 - 1)
Agora, nossa integral dupla se reduz a uma única integral em relação a x:
integral0^3 x (e^x^2 - 1) , dx

Passo 5

Vamos dividir essa integral em duas partes para facilitar:
integral0^3 x e^x^2 , dx - integral0^3 x , dx
A primeira integral pode ser resolvida por substituição, e a segunda é uma integral básica.

Passo 6

Primeira integral: integral x e^x^2 , dx
Fazemos a substituição u = x^2, então du = 2x , dx ou du2 = x , dx.
Substituindo:
12 integral e^u , du = 12 e^u + C = 12 e^x^2 + C
Aplicando os limites de 0 a 3:
12 ( e^9 - e^0 ) = 12 (e^9 - 1)

Passo 7

Segunda integral: integral0^3 x , dx
A integral de x em relação a x é x^22. Aplicando os limites:
3^22 - 0^22 = 92 - 0 = 92

Passo 8

Agora, juntamos as duas partes:
12 (e^9 - 1) - 92 = e^9 - 1 - 92

Resposta

A integral iterada integral0^3 integral0^x x^2 e^x y , dy , dx é igual a e^9 - 102.

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