Calcule as integrais iteradas abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo. A questão pede para calcular a integral iterada
. A matéria aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e como lidar com integrais iteradas, ou seja, uma integral dentro da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a
. Isso significa que tratamos
como uma constante. A integral interna é:
Para resolver isso, notamos que
é constante em relação a
, então podemos tirar
da integral:
Passo 3
Agora, precisamos integrar
em relação a
. A integral de
em relação a
é
, onde
é uma constante. Aqui,
, então temos:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 4
Voltando à integral interna multiplicada pelo
:
Agora, nossa integral dupla se reduz a uma única integral em relação a
:
Passo 5
Vamos dividir essa integral em duas partes para facilitar:
A primeira integral pode ser resolvida por substituição, e a segunda é uma integral básica.
Passo 6
Primeira integral:
Fazemos a substituição
, então
ou
.
Substituindo:
Aplicando os limites de 0 a 3:
Passo 7
Segunda integral:
A integral de
em relação a
é
. Aplicando os limites:
Passo 8
Agora, juntamos as duas partes:
Resposta
A integral iterada
é igual a
.