2. Teste da Razão: Seja r=lim |a n+1 / a n| mostre que:

b) Se r>1 então o somatorio de n=1 ao infinito de | an+1 / an|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício do Teste da Razão, que é uma técnica para verificar se uma série infinita converge ou diverge. Aqui, a gente sabe que e a gente precisa mostrar que se , então a soma diverge. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa no contexto do Teste da Razão. Quando o limite da razão entre termos consecutivos de uma série é maior que 1, isso indica que os termos da série estão crescendo em magnitude.

Passo 3

Agora, lembrando do Teste da Razão, se , então a série diverge. Isso acontece porque os termos não tendem a zero, que é uma condição necessária para a convergência de uma série.

Passo 4

No nosso caso, estamos lidando com a série . Se o limite dessa expressão é maior que 1, isso significa que cada termo da série está aumentando, ou pelo menos não está diminuindo suficientemente rápido para que a soma se estabilize.

Passo 5

Como os termos não tendem a zero (já que o limite é maior que 1), a soma desses termos vai crescer sem limite. Portanto, a série não consegue se aproximar de um valor finito.

Passo 6

Conclusão: Se , então a série não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A série diverge quando .

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