Calcule o gradiente das seguintes funções:
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o gradiente da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com gradientes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja,
Isso nos dá a direção de maior aumento da função.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada parcial.
Derivada parcial em relação a
:
Aqui, tratamos
e
como constantes. Usamos a regra do quociente:
Derivada parcial em relação a
:
Aqui,
e
são constantes:
Derivada parcial em relação a
:
Novamente,
e
são constantes:
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas parciais, montamos o vetor gradiente:
Resposta
O gradiente da função
é: