Calcule o gradiente das seguintes funções:
(h) f(x, y, z) = y * z^2 / (1 + x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o gradiente da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com gradientes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja,
Isso nos dá a direção de maior aumento da função.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada parcial.
Derivada parcial em relação a :
Aqui, tratamos e como constantes. Usamos a regra do quociente:
Derivada parcial em relação a :
Aqui, e são constantes:
Derivada parcial em relação a :
Novamente, e são constantes:

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas parciais, montamos o vetor gradiente:

Resposta

O gradiente da função é:

Exercícios relacionados