Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o gradiente da função
no ponto
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo multivariável, especificamente a derivada parcial e o gradiente de uma função. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis,
, é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja,
Isso nos dá a direção de maior crescimento da função no ponto considerado.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Dada a função
, a derivada em relação a
é:
Isso porque usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
, onde
e
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Observando a função
, vemos que ela não depende de
. Portanto,
Isso significa que a função não varia quando alteramos o valor de
.
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, podemos construir o vetor gradiente:
Passo 6
Por fim, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
na expressão do gradiente:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O gradiente da função no ponto
é
.