Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(a) f(x, y) = e^(sen(x)), (0, pi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o gradiente da função no ponto . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo multivariável, especificamente a derivada parcial e o gradiente de uma função. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Isso nos dá a direção de maior crescimento da função no ponto considerado.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Dada a função , a derivada em relação a é:
Isso porque usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é , onde e .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Observando a função , vemos que ela não depende de . Portanto,
Isso significa que a função não varia quando alteramos o valor de .

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos construir o vetor gradiente:

Passo 6

Por fim, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo na expressão do gradiente:
Sabemos que e , então:

Resposta

O gradiente da função no ponto é .

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