Explique por que são falsas as seguintes afirmações.
(a) A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é
(a) A equação do plano tangente ao gráfico de
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para explicar por que uma determinada fórmula para o plano tangente é falsa. A fórmula apresentada é:
Vamos trabalhar com isso para entender onde está o erro. Para resolver, precisamos saber sobre planos tangentes a superfícies definidas por funções de duas variáveis, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como realmente se encontra a equação de um plano tangente a uma superfície
no ponto
.
A fórmula correta é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos comparar essa fórmula correta com a que foi dada no enunciado:
Percebemos que na fórmula do enunciado, os termos
e
não estão subtraindo
e
, que no nosso caso são 3 e 4.
Passo 4
Por que isso é importante? Bem, ao subtrair
e
, estamos ajustando a inclinação do plano tangente em relação ao ponto específico
. Sem essa subtração, o plano não estará corretamente “encaixado” na superfície no ponto dado.
Passo 5
Então, se utilizarmos a fórmula do enunciado sem subtrair 3 e 4, o plano tangente não estará passando pelo ponto correto na superfície
. Ele será deslocado, o que faz com que não seja realmente tangente naquele ponto específico.
Resposta
A afirmação é falsa porque a equação do plano tangente deve subtrair as coordenadas do ponto de tangência. A fórmula correta seria: