Nos Problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos duas soluções independentes para uma equação diferencial usando séries de potências ao redor do ponto
. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais e Séries de Potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir a solução em séries de potências e garantir que as soluções sejam lineares e independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma equação diferencial genérica de segunda ordem:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
,
e
são funções de
.
Passo 3
Vamos supor que a solução
pode ser expressa como uma série de potências em torno de
:
Cada termo da série é
, onde
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas necessárias:
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial original.
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Precisamos manipular essa equação para igualar os coeficientes de cada potência de
a zero.
Passo 6
Para simplificar, ajustamos os índices das somas para que todas tenham
:
Agora, temos todas as somas em termos de
.
Passo 7
Igualamos os coeficientes de cada
a zero:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 8
Resolvendo a relação de recorrência, podemos expressar
em função de
e
:
Com essa fórmula, podemos calcular todos os coeficientes da série.
Passo 9
Para encontrar duas soluções linearmente independentes, geralmente obtemos duas séries diferentes dependendo dos valores iniciais de
e
. Por exemplo:
- Primeira solução (
): Escolhemos e . - Segunda solução (
): Escolhemos e .
Passo 10
Agora, construímos as duas soluções usando os coeficientes calculados:
Essas duas soluções são linearmente independentes e formam a solução geral da equação diferencial.
Resposta
Encontramos duas soluções independentes em série de potências ao redor de
: