Nos Problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos duas soluções independentes para uma equação diferencial usando séries de potências ao redor do ponto . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais e Séries de Potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir a solução em séries de potências e garantir que as soluções sejam lineares e independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma equação diferencial genérica de segunda ordem:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e são funções de .

Passo 3

Vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências em torno de :
Cada termo da série é , onde são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas necessárias:
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial original.

Passo 5

Substituímos , e na equação diferencial:
Precisamos manipular essa equação para igualar os coeficientes de cada potência de a zero.

Passo 6

Para simplificar, ajustamos os índices das somas para que todas tenham :
Agora, temos todas as somas em termos de .

Passo 7

Igualamos os coeficientes de cada a zero:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 8

Resolvendo a relação de recorrência, podemos expressar em função de e :
Com essa fórmula, podemos calcular todos os coeficientes da série.

Passo 9

Para encontrar duas soluções linearmente independentes, geralmente obtemos duas séries diferentes dependendo dos valores iniciais de e . Por exemplo:
  • Primeira solução ( ): Escolhemos e .
  • Segunda solução ( ): Escolhemos e .

Passo 10

Agora, construímos as duas soluções usando os coeficientes calculados:
Essas duas soluções são linearmente independentes e formam a solução geral da equação diferencial.

Resposta

Encontramos duas soluções independentes em série de potências ao redor de :

Exercícios relacionados