Calcule o gradiente das seguintes funções
(f(x, y)=\cos (2 x) \cos (3 y) \operatorname{senh}(4 x)\

Passo 1

O enunciado pede o gradiente da função f(x,y)=cos(2x)cos(3y)senh(4x). Para isso, precisamos usar derivadas parciais, a regra do produto e as regras de derivação de funções trigonométricas e hiperbólicas.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos cos(3y) como constante e aplicamos a regra do produto em cos(2x) e senh(4x):
partial fpartial x = cos(3y)l(ddxcos(2x)cdotsenh(4x) + cos(2x)cdotddxsenh(4x)r)
Derivando cada termo, temos:
partial fpartial x = cos(3y)l(-2sin(2x)senh(4x) + 4cos(2x)cosh(4x)r)

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos cos(2x)senh(4x) como constantes e derivamos cos(3y):
partial fpartial y = cos(2x)senh(4x)cdotddycos(3y) = -3cos(2x)senh(4x)sin(3y)

Passo 4

Reunimos as derivadas parciais no vetor gradiente, lembrando que
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,partial fpartial yr)

Resposta

[\nabla f(x,y) = \bigl(\cos(3y)\bigl(-2\sin(2x)\operatorname{senh}(4x) + 4\cos(2x)\cosh(4x)\bigr), -3\cos(2x)\operatorname{senh}(4x)\sin(3y)\bigr)]

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