Calcule os limites abaixo.
.

Passo 1

O problema pede para calcular limxtoinftyl(1+tfrac1xr)^5x. Esse tipo de limite é um caso clássico de indeterminação exponencial, e vamos usar conceitos da definição de e e a técnica de logaritmo para resolver.

Passo 2

Definimos L = limxtoinftyl(1+tfrac1xr)^5x e tomamos o logaritmo natural para “trazer” o expoente para frente:
$$\ln L = \lim_{x\to\infty}5x\ln\Bigl(1+\frac1x\Bigr).
$$

Passo 3

Para calcular essa nova forma, escrevemos
$$\ln L = 5\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+1/x)}{1/x}.
$$

Passo 4

A fração acima é indeterminada do tipo 0/0, então aplicamos a regra de l’Hôpital. Derivando numerador e denominador, obtemos:
limxtoinftyln(1+1/x)1/x =limxtoinftyddxln(1+1/x)ddx(1/x) =limxtoinfty-1/(x^2(1+1/x))-1/x^2 =limxtoinftyx^2x(x+1) =limxtoinftyxx+1 =1

Passo 5

Logo, ln L = 5times1 =5. Voltando do logaritmo, concluímos que L = e^5.

Resposta

e^5

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