Calcule os limites abaixo.
.
Passo 1
O problema pede para calcular
. Esse tipo de limite é um caso clássico de indeterminação exponencial, e vamos usar conceitos da definição de
e a técnica de logaritmo para resolver.
Passo 2
Definimos
e tomamos o logaritmo natural para “trazer” o expoente para frente:
$$\ln L = \lim_{x\to\infty}5x\ln\Bigl(1+\frac1x\Bigr).
$$
Passo 3
Para calcular essa nova forma, escrevemos
$$\ln L = 5\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+1/x)}{1/x}.
$$
Passo 4
A fração acima é indeterminada do tipo
, então aplicamos a regra de l’Hôpital. Derivando numerador e denominador, obtemos:
Passo 5
Logo,
. Voltando do logaritmo, concluímos que
.
Resposta
e^5