Mostre que:

Passo 1

Neste exercício vamos calcular log(i^1/2) e mostrar que seus valores são pi i4 pm npi i. Para isso, usamos a forma exponencial de um número complexo e a definição do logaritmo multivalorado.

Passo 2

Escrever i em forma exponencial: o número i tem módulo 1 e argumento principal tfracpi2, então
i = e^i,l(tfracpi2 + 2pi kr), kinZ

Passo 3

Extrair a raiz quadrada dividindo o argumento por 2: como i^1/2 = (e^itheta)^1/2 = e^i(theta/2), segue
i^1/2 = e^i,l(tfracpi/2 + 2pi k2r) = e^i,l(tfracpi4 + kpir)

Passo 4

Lembrar a definição do logaritmo complexo multivalorado: para zneq0,
log z = ln|z| + il(arg(z) + 2pi mr), minZ
Aqui |i^1/2|=1 implica ln|i^1/2|=0 e arg(i^1/2) = tfracpi4 + kpi módulo 2pi.

Passo 5

Substituindo em log(i^1/2) e combinando os inteiros de multivaluação, definimos n=k+2m. Assim, obtemos
log(i^1/2) = pi i4 + npi i
com n=0,1,2,dots, o que equivale a escrever pi i4 pm npi i.

Resposta

log(i^1/2)=pi i4pm npi i, n=0,1,2,ldots

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