Calcule o gradiente das seguintes funções
(f(x, y, z)=\frac{x y}{z}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de uma função de três variáveis. O conteúdo da matéria é derivada parcial e gradiente, e vamos precisar usar as definições de derivadas parciais para cada variável.

Passo 2

Para achar partial fpartial x, visto que f(x,y,z)=x y z^-1, tratamos y/z e z como constantes em relação a x. Assim,
partial fpartial x=yz,

Passo 3

Para achar partial fpartial y, tratamos x/z e z como constantes em relação a y. Então,
partial fpartial y=xz,

Passo 4

Para achar partial fpartial z, escrevemos f como x y z^-1 e aplicamos a regra de potência para z^-1, considerando x y constante em relação a z. Então,
partial fpartial z=x ycdot(-1)z^-2=-x yz^2

Passo 5

Com essas derivadas parciais, montamos o vetor gradiente, que reúne todas elas.

Resposta

nabla f(x,y,z)=(yz,;xz,;-x yz^2)

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