Nos exercícios abaixo, verifique a convergência ou divergências das integrais usando o critério de comparação ou o critério de comparação no limite.
integral1^+infty x^2+1x^3+1 d x

Passo 1

Temos a integral imprópria integral1^+inftyx^2+1x^3+1,dx. Isso cai no tema de determinação de convergência de integrais impróprias usando o critério de comparação no limite.

Passo 2

Para aplicar o critério de comparação no limite, escolhemos uma função mais simples com comportamento assintótico semelhante. Note que quando xto+infty, temos x^2+1x^3+1simx^2x^3=1x. Assim, definimos f(x)=x^2+1x^3+1 e g(x)=1x, ambas positivas para x>=1.

Passo 3

Vamos calcular o limite da razão f(x)/g(x):
limxto+inftyf(x)g(x) =limxto+inftyx^2+1x^3+11x =limxto+inftyx,(x^2+1)x^3+1 =1

Passo 4

Como o limite é um número finito e positivo ( L=1), o critério de comparação no limite nos diz que integral1^+inftyf(x),dx e integral1^+inftyg(x),dx têm o mesmo comportamento de convergência. Sabemos que
integral1^+infty1x,dx =l[ln xr]1^+infty =+infty

Passo 5

Logo, como integral1^+infty1x,dx diverge, a integral original também diverge.

Resposta

A integral diverge.

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