Dada a função
(a) Calcule
e
(b) A função
é diferenciável em
?
(a) Calcule
(b) A função
Passo 1
Este exercício trata de uma função de duas variáveis definida por partes:
se
ou
, e
caso contrário. A gente vai precisar usar a definição de derivada parcial via limite e depois checar diferenciabilidade analisando continuidade e comportamento da aproximação linear.
Passo 2
Para calcular
usamos a definição
Como em
vale a regra
, temos
e para qualquer ,
Logo o quociente é
, e o limite dá 2.
e para qualquer
Passo 3
De modo análogo,
Novamente estamos na parte
, então
e o quociente é . O limite é 1.
e o quociente é
Passo 4
Para ver se
é diferenciável em
, notamos que
, mas ao aproximar por pontos onde
e
(região em que
), o valor de
tende a 3. Isso mostra descontinuidade em
, e, consequentemente,
não pode ser diferenciável nesse ponto.