Dada a função cl2 x+y-3 & se x=1 ou y=1 3 & se x neq 1 e y neq 1
(a) Calcule partial fpartial x(1,1) e partial fpartial y(1,1)
(b) A função f é diferenciável em (1,1) ?

Passo 1

Este exercício trata de uma função de duas variáveis definida por partes: f(x,y)=2x+y-3 se x=1 ou y=1, e f(x,y)=3 caso contrário. A gente vai precisar usar a definição de derivada parcial via limite e depois checar diferenciabilidade analisando continuidade e comportamento da aproximação linear.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x(1,1) usamos a definição
partial fpartial x(1,1)=limhto0f(1+h,1)-f(1,1)h
Como em (1,1) vale a regra 2x+y-3, temos
f(1,1)=2cdot1+1-3=0
e para qualquer hneq0, f(1+h,1)=2(1+h)+1-3=2h Logo o quociente é (2h-0)/h=2, e o limite dá 2.

Passo 3

De modo análogo,
partial fpartial y(1,1)=limhto0f(1,1+h)-f(1,1)h
Novamente estamos na parte 2x+y-3, então
f(1,1+h)=2cdot1+(1+h)-3=h
e o quociente é h/h=1. O limite é 1.

Passo 4

Para ver se f é diferenciável em (1,1), notamos que f(1,1)=0, mas ao aproximar por pontos onde xneq1 e yneq1 (região em que f=3), o valor de f tende a 3. Isso mostra descontinuidade em (1,1), e, consequentemente, f não pode ser diferenciável nesse ponto.

Resposta

partial fpartial x(1,1)=2, partial fpartial y(1,1)=1 A função não é diferenciável em (1,1).

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